شرح معني الاستنباط وتطبيقه فى العلوم الصورية - منطق الصف الثاث الثانوى

الموضوع الثاني

معني الاستنباط وتطبيقه فى العلوم الصورية

اليقين الموجود فى الرياضيات يرجع الى

1)   أنهاعلم استنباطي .

2)   كما أنها نقطة التقاء جوهرية مع المنطق . و ظهر ذلك واضحاً فى نظريات المنطق الرياضي الحديث والمعاصر . ( حيث اختلطت الرياضيات بالمنطق بحيث لا ندري اين يبدأ المنطق واين تنتهي الرياضيات ) .

3)   كما اصبح المنطق اكثر رياضية والرياضيات اكثر منطقية . ( وفقا لقول الفيلسوف الانجليزي براند رسل ) .

أولا : المنطق والرياضيات فى المنهج الاستنباطي التقليدي

بين ارسطو مبادئ العلوم الصورية البرهانية والعلاقة بين المنطق الاستنباطي والرياضيات .

1)   فقال أرسطو ( يجب ان يبدأ كل علم برهاني من مبادئ غير مبرهنة ( مقدمات ) والا ستتراجع فى خطوات البرهان الى ما لا نهاية ) .

2)   اعتمدت الرياضيات على الاستدلالات الاستنباطية من حيث انها مفاهيم عقلية مجردة ( غير مادية ) .

·       الرياضيات المعاصرة وان كانت تعتمد ايضاً على الاستدلالات الاستنباطية الا انها تختلف فى نواح عديدة عن الرياضيات الكلاسيكية .

لقد جاء التفسير التقليدي على النحو التالي :

·       انها قضايا يسهم بها العقل مباشرة بدون برهان لانها واضحه.

·       انها قضايا أولية ( بسيطة ) نستند اليها للبرهنة على قضايا اخرى . فهي اساس الاستدلال ولا تحتاج الى استدلال .

·       تقوم البديهية والمصادرة على مبدأ عدم التناقض .

أوجه الاختلاف بين البديهات و المسلمات ؟

البديهيات

المسلمات او المصادرات

·       قضايا واضحة بذاتها اي لا تحتاج الى دليل او برهان لاثبات صدقها ·       يعجز العقل عن اثباتها لوضوحها و تعتمد على اتساق العقل مع ذاته . ·       قضايا قبلية فالعقل يدركها بالحدس المباشر دون برهان ·       هي قضية تحليلية لا يضيف محمولها جديداً الى موضوعها ومن امثلة بديهيات اقليس التقليدية ·       الكل اكبر من اي جزاء من اجزائه ·       الكل يعادل مجموع اجزائه ·       الكميتان المساويتان لكمية ثالثة متساويتان ·       لا يمكن رسم الا خط مستقيم واحد بين نقطتين ·       اذا اضيفت كميات متساوية الى اخرى متساوية تكون النتائج متساوية

·       حقائق بسيطة واضحه نقبلها دون حاجة الى البرهنة عليها. ·       ولكن الباحث يسلم  بها ليتخذها اساسا للبرهنة على غيرها . ·       كما انها قد تتضمن بعض الحدود الهندسية مثل النقطه والخط ·       ونحن نسلم بها لاننا نعجز عن اثباتها . ·       والمسلمات تعبر عن قضايا تركيبية لان محمولها يضيف جديد لموضوعها . شروط المسلمات ·       الاتساق:  متسقة اي غير متناقضة مع باقي النسق . ·       الكفاية : ان تكون كافية لكي تبرهن بواسطتها على جميع نظريات النسق ·       مستقلة : ان تكون مستقلة اي لا تكون مشتقة من مسلمات اخرى من امثلة مسلمات اقليس ·       من نقطة خارج مستقيم لا نستطيع رسم اكثر من مستقيم واحد مواز للمستقيم الاول ·       المستقيمان المتوازيان لا يلتقيان مهما امتدا ·       المكان سطح مستوي له ثلاثة ابعاد هي الطول والعرض والارتفاع ·       لا يمكن اقامة اكثر من خط بين نقطتين ·       الخطان المستقيمان يتقاطعان فى نقطة واحدة فقط

أوجه الشبة بين المسلمات و البديهيات .

·       ان البديهيات والمسلمات لا تحتاج الى برهان . انها امور تسلم بها  دون ادني استدلال .

خلاصة القول

·       البديهيات مبادئ عقلية اولية سابقة على المسلمات التي لا ينبغي ان تتناقض معها .

·       البديهية ليست كافية لتأسيس علم فالمسلمة مكملة لها . باعتبارها قضايا اولية فى العلم غير انها تعتمد على مبادئ منطقية اهمها مبدأ عدم التناقض ومبدأ الثالث المرفوع .

شروط بناء المسلمات و البديهيات ( المباديء ) ؟

1)   الذاتية  

( الشئ هو نفسة )  الطالب هو الطالب .  رمزه ( أ هو أ ) و لا يمكن له ان يكون شيئا اخر .

2)   مبدأ عدم التناقض ( صورة سالبة للذاتية )

بمعني أن الشيء لا يمكن أن يوصف بصفة ونقيض الصفة في نفس الوقت  .

رمزة ( أ لا يمكن أن يكون ب و لا ب في نفس الوقت ) .

مثال الطالب لا يمكن ان يكون حاضر لا حاضر في نفس الوقت .

3)   مبدأ الثالث المرفوع ( الوسط الممتنع )  

بمعني ان الشيء أم ان يوصف بصفة أو نقيض الصفة ولا وسط بينهم  .

رمز ( أ أما ان يكون ب أو لا ب ولا وسط بينهما ) .

مثال ( الطالب أما أن يكون حاضر او لا حاضر ولا وسط بينهم ) .

ثانياً : تطور المفاهيم الرياضية فى المنطق والرياضيات الحديثة

·       كان علماء المنطق والرياضيات حتى القرن التاسع عشر يسلمون بأن بديهيات الرياضيات والهندسة الكلاسيكية كحقائق مطلقة . حتى اصبحت تلك الهندسة حالة خاصة وما كان يمثل حقائق ثابتة اصبح متغيراً نسبياً .

·       الرياضيات الحديثة تري ان اليقين فى بديهيات اقليدس لا يتمثل فى وضوح المبادئ ولكن فى الاتساق المنطقي بين المقدمات و النتائج المترتبة عليها .

مثال

تلك الافكار شكلت انساقا جديدة فى الرياضيات تتعارض مع النظريات التقليدية وخاصة نظرية اقليدس ومن اهم اعلامها

·       الروسي لوباتشيفكي ( 1792 – 1856 م ) الذي اكتشف المكان المقعر الذي يشبه الكرة من الداخل وفى هذه الحالة تمكن من الحصول على هندسة تختلف عن هندسة اقليدس اي من خلال هذا المكان اعلن لوباتشيفكي انه بامكاننا ان نرسم متوازيات كثيرة من نقطة خارج مستقيم والمثلث تصير مجموع زواياه اقل من 180 درجة .

·       عالم الرياضيات الالماني ريمان (1826 ـ 1866 م ) تصور المكان محدباً . اي الكرة من الخارج واستنتج بناء على ذلك هندسة جديدة تري انه لا يمكن رسم اي موازي من نقطة خارج مستقيم وكل مستقيم منته لانه دائري وجميع المستقيمات تتقاطع فى نقطتين فقط و المثلث مجموع زواياه اكثر من 180 درجة .

·       وقد أختلفت التفسيرات بين المناطقة وعلماء الرياضيات في العصور الحديثة خلال القرن  الـ19 و القرن الـ20 حول دور المنهج الاستنباطي في العلاقه  بين المنطق و الرياضيات . مما أدي لنشأة عدة مذاهب في تفسير العلاقة بين المنطق و الرياضيات .

·       تفسير العلاقة بين المنطق و الرياضيات .

مذهب التشابه الظاهري	مذهب جبر المنطق	المذهب اللوجستيقي	المذهب الاكسيوماتي	المذهب الحدسي
يري اصحابه ان المنطق والرياضيات يرجعان لاصول واحدة لانهما رمزيان صوريان آليان او ميكانيكيان	رد المنطق الى الرياضيات ويري القائلون به امكان التعبير عن المنطق برموز رياضية وان المنطق نوع من الرياضيات ( مجرد نظرية رياضية )	رد الرياضيات الى المنطق . الرياضيات فرع من فروع المنطق وامتداد لقضاياه وقوانينه	يزعم ان المنطق والرياضيات معاً نبعا من اصول فوقية اكسيوماتية بدهية وان بنيتهما واحدة و ان مصدرهما واحد	ويري ان اصول الرياضيات حدسية ويذهب الى اننا ندرك الاعداد الاولية بالحدس المباشر ومن ثم فهي لا تعتمد على اللغة اي مستقلة عنها

ثالثا : الحجج الاستنباطية

·       تتعين مهمة المنطق الاساسية فى التحقق من صحة الاستدلالات .

·       جودة الاستدلال تختلف باختلاف نوعه .

ý   فقد ترتبط بقدرة مقدماته على ضمان نتيجته ضماناً مطلقاً ( الاستدلال الاستنباطي ) .

ý   قد ترتبط بقدرة مقدماته على ترجيح نتيجته الاستدلال الاستقرائي .

·       يهتم المناطقة فى الاستدلالات الاستنباطية بالجمل الخبرية التي يصح وصفها بالصدق او الكذب ( القضايا ) .

·       ومن المهم ان نلاحظ ان الحجة الاستنباطية قد تكون صحيحة رغم كذب مقدماتها او اكثر من مقدماتها بل انها قد تكون صحيحة رغم كذب كل قضاياها .

(1)            لا تشتمل بعض الحجج الصحيحة إلا على قضايا صادقة ـ

مثال

لكل الثديات رئات

كل الحيتان ثدييات  

لذا لكل الحيتان رئات

(2)            قد تكون كل قضايا الحجة كاذبة وتظل صحيحة ـ

مثال

لكل المخلوقات ذات العشر ارجل اجنحة

لكل العناكب عشر ارجل

لكل العناكب أجنحة ـ

الحجة السابقة صحيحة لانه لو صدقت مقدمتاها لصدقت نتيجتها رغم انها جميعها فى واقع الامر كاذبة

(3)            قد تكون جميع مقدمات الحجة ونتيجتها صادقة وتظل حجة فاسدة ـ

مثال

لو كنت املك كل النقود الموجودة فى البنك المركزي لكنت ثريا

لا املك كل النقود الموجودة فى البنك المركزي

 لذا فانني لست ثريا

(4)            قد تكون الحجة ذات المقدمات الصادقة والنتيجة الصادقة صحيحة وقد تكون فاسدة ـ مثال

كل القطط ثدييات .

كل النمور قطط

 لذا كل النمور ثدييات .

(5)            قد تكون حجة صحيحة ولكن ذات مقدمات كاذبة ونتيجة صادقة ـ

مثال

كل القطط طيور ـ

اكل الطيور ثدييات

لذا كل القطط ثدييات

(6)            واخيرا ثمة حجج فاسدة تكذب مقدماتها ونتائجها ـ

مثال

كل الثدييات ذوات اجنحة ـ

كل الحيتان ذوات اجنحة

لذا كل الثدييات حيتان

·       نستنتج من الامثلة السابقة الملاحظات الاتية

ý   المقدمات الصادقة لا تضمن صحة الحجة   

ý   النتيجة الصادقة لا تضمن صحة الحجة .

ý   المقدمات الصادقة والنتيجة الصادقة مثالا تضمن صحة الحجة

ý   الحجه الصحيحة لا تعني صدق المقدمات بصورة الية

ý   المقدمات الكاذبة لا تعني بالضرورة فساد الحجة

ý   النتيجة الكاذبة لا تعني بالضرورة فساد الحجة

ý   المقدمات الكاذبة والنتيجة الكاذبة لا تعني بالضرورة فساد الحجة

ý   الحجة الفاسدة لا تقود بالضرورة الى نتيجة كاذبة

·       فالحجة اذن عبارة عن سلسلة من الجمل التقريرية محددة المعني يمكن تقسيمها الى مقدمات عددها واحد او اكثر ونتيجة عددها واحد فقط .

·       نتيجة الحجة هي القضية التي يتم اقرارها . وهذه القضايا ( المقدمات ) التي يتم اقرارها او افترضها بحسبان انها تطرح اسباباً لقبول النتيجة هي مقدمات الحجة .

·       ترتيب اقرار المقدمات والنتيجة ليس مهماً من وجهة نظر المنطق غالباً ما تأتي المقدمات اولاً تتلوها النتيجة . وغالباً يسبق نتيجة الحجة ما يسمي مؤشر النتيجة مثل  ( من قبيل ، اذن ، من ثم )  . وقد يستغني عنها حين تفهم ضمناً .

رابعاً : الصياغة الرمزية للحجج المنطقية

·       غالبا ما تكون الحجج التي تصاغ بأي لغة صعبة التقويم  . ( علل ) بسبب عيوب اللغة ( التباس اللغه وبسبب غموض تراكيبها والعبارات الاصطلاحية الاساليب المجازية )  الذي قد تُحدث الخلط .

·       لتجنب هذه الصعوبات استخدام العلماء اللغة رمزية التي تخلو من اوجه القصور و يمكن ان تصاغ بها القضايا والحجج .

·       و وظيفة اللغة الرمزية

ý   تحدد معاني واضحة لكل مفهوم .

ý   توفر الوقت والجهد فى التعامل معها .

ý   تعكس صورية المنطق التي تعني انه يهتم  بالعلاقات التركيبية القائمة بين اجزاء القضايا .

-         طريقة ترجمة القضايا من اللغة العربية الى اللغة الرمزية

تسافر سحر الى الاسكندرية كل اسبوع (قضية موجبة )	P
حسام ليس طالباً فى كلية الآداب (قضية سالبة)	P -
حسن موظف وسحر أستاذة جامعية (قضية عطفية )	p.Q
اما ان اذاكر دروسي او استمع الى الموسيقي ( قضية انفصالية )	P v Q
اذا كان احمد مصريا فان احمد عربي (قضية شرطية ) لزومية	P – Q
ستتقدم مصر اذا وفقط اذا حققت التنمية الشاملة ( قضية التشارط ) التكافؤ	P - Q

ý   تعد القضية الاولى من حيث تركيبها قضية بسيطة بمعني انها خالية من الدوال الصدقية ولذا فانها ترمز باختيار حرف من حروف الابجدية اللاتينية او العربية (p – Q –R – S ete)

ý   القضية الثانية قضية بسيطة على الرغم من اشتمالها على رابط صدقي هو رابط السلب النفي . ولذا فانها ترمز باستخدام رابط السلب على النحو التالي : سائر القضايا ترمز على التوالي  باستخدام روابط الوصل والفصل والشرط والتشارط

ý   لتحديد قيم صدق اية قضية مركبة وفق قيم صدق اجزائها نحتاج الى معرفة قواعد حساب الروابط الصدقية التي تتضمنها . يتم هذا الامر باستخدام اكثر من طريقة سنكتفي هنا ببيان هذه القواعد وفق طريقة جداول صدق truth table التي تتضمن كل احتمالات قيم الصدق الممكنة لمكونات القضية المركبة كما نقوم بتحديد القيم الصدقية التي يتوجب حصول المركب عليها فى كل حالة ممكنة

( سوف نستخدم الحرف T اختصارا لقيمة الصدق True  و F اختصارا لقيمة الكذب  False

رابط السلب

1)   روابط السلب في اللغه الرعبية  (ليس) (غير) ، (لن) ، (لا) و (لم) .

·       تتحدد مهمة رابط السلب الذي نرمز له بالرمز فى تغيير قيم صدق القضية التي يدخل عليها وفق ما هو موضح فى الجدول التالي

·       اذن اذا صدقت قضية معينة فانها سلبها يكون كاذبا والعكس صحيح

P	-      Q
T	F
F	T

2)   روابط الوصل ( العطف )  مثل ( لكن ) ، ( و ) وغيرها  ((((((( جدول ))))))))

·       لا تصدق قضية الوصل الا فى حالة واحدة وهي الحالة التي تصدق فيها كل من طرفي القضية المركبة  او اجزائها كما هو مبين فى الجدول التالي

مثال احمد رجل اعمال و حمزة طبيب

·       لاحظ ان رابط الوصل يتصف بخاصية التبادلية اي يمكننا عكس وضع القصتين البسيطتين دون تغيير فى قيمة صدق قضية الوصل المركبة . حيث ان هناك تكافؤ منطقياً بين القضيتين .

اذن يصدق الوصل اذا صدق طرفاه معاً ويكذب اذا كذب احد اطرافه .

3)    رابط الفصل

·       رابط الفصل الذي سوف نرمز لها بالرمز (V) فهو يرتبط اساساً بكلمة (او)

·       غير ان هناك نوعاً من الغموض في هذا الرابط حين يتم التعبير عنه باللغة العربية وبعض اللغات الاجنبية . فقد يستخدم للفصل بين البديلين ( القضيتين ) ويسمي هنا بالفصل القوي

·       مثال : كما فى القول ( أذا لم تُعجب سلعتنا فسوف نقوم برد الملبغ الذي دفعته أو يمكن ان تستبدل ما اشتريت ) .

ý   حيث يتتضح ان الشركة تُعرض نفسها للإفلاس حين تبدي استعدادها للقيام برد المبلغ واستبدال السلعة فى ان واحد .

·       مثال اخر : ذلك الشئ الذي يلمع فى الظلام حجر او حشرة

·       " ستهبط طائرة فريق كرة القدم التاسعة صباح اليوم فى القاهرة او فى الاسكندرية

ý   ففي الامثلة السابقة يستحيل ان يصدق البديلان فى الوقت نفسه

·       وهناك نوع اخر من الفصل يسمي الفصل الضعيف الذي لا تكذب فيه القضية الفصلية الا في حال كذب مفصولها اي من الممكن ان يصدق فيها البديلان معاً .

·       مثال : اما ان اذاكر دروسي او استمع الى الموسيقي .

·       عادل مهندس او مدرس .

·       اذ من الممكن ان يكون عادل مدرساً وخريج كلية الهندسة اي يحمل لقب مهندس من هنا لا نستبعد صدق الامرين معا .

(((((((((((((((((((والجدول التالي يبين ان هذا النوع من الفصل يكذب فى جميع الاحوال باستثناء الحالة التي يصدق فيها طرفاه .

·       لاحظ ان رابط الفصل يتصف ايضا بخاصية التبادلية اي يمكننا عكس وضع القضيتين البسيطتين دون تغيير فى قيمة صدق قضية الفصل المركبة حيث ان هناك تكافؤاً منطقياً بين القضيتين .

اذن يصدق الفصل اذا صدق احد طرفيه ويكذب اذا كذب أحد طرفاه معاً .

4)     رابط الشرط

·       ننتقل الان الى رابط الشرط الي نرمز له بالرمز سوف نصطلح على تسمية فعل الشرط بالمقدم وجوابه بالتالي ونلحظ ان هذا الرابط لا يتصف بالخاصية التبادلية التي سبق ان اشرنا اليها فى الوصل والفصل

·       مما يعني ان ترتيب اجزاء القضية الشرطية يحدث فرقا فى قيمتها الصدقية

·       مثال ذلك ان ان القضية اذا كان مصريا فان ايمن عربي ( قضية صادقة ) فى حين ان القضية اذا كان ابن عربيا فان ايمن مصري ( باطلة )

·       وكما هو موضح فى الجدول التالي فان القضية الشرطية لا تكذب الا فى حال صدق مقدمها وكذب تاليها

·       لو قلت اا غاز فريق الاهلي فى مباراته القادمة سوف يحصل على بطولة الدوري

·       فان تولي هذا يكذب فى حالة واحدة حين يحقق الاهلي الفوز دون ان يحصل على بطولة الدوري لكنه يصدق فى جميع الاحوال الاخرى اي حال فوزه وحصوله على البطولة وحال حصوله عليها رغم خسارته لان الفريق الثاني لم تكن لديه نقاط كافية للفوز بالبطولة مثلا وحال عدم فوزه وعدم حصوله على البطولة )

·       وكما هو مبين فى جدول رابط الشرط فان القضية الشرطية تصدق حال صدق مقدمها بصرف النظر عن القيمة الصدقية التي يحصل عليها تاليها قد يبدو للبعض مخالفا لأحكام البداهة لكن قليلا من التدريب سيبين لنا كيفية فهم القضية الشرطية .

اذن يصدق الشرط اذا كذب المقدم او صدق التالي ويكذب فى حالة واحدة هي اذا صدق المقدم وكذب التالي

5 – رابط التشارط ( التكافؤ )

·       الرابط الصدقي الاخير هو رابط التشارط او ( التكافؤ ) الذي سوف نرمز له بالرمز    والذي تعبر عنه بالعبارة اذا وفقط إذا

·       تصدق قضية التشارط فى حالة صدق طرفيها كما تصدق فى حال كذبهما وتكون كاذبة حالة اختلاف قيم صدقهما وفق ما يبين الجدول التالي :

باقي ص 89 ، 99